Tjóðskjalasavnið varð sett á stovn í 1932, tá sum Færø Amts Arkiv, og er tí ein gamal stovnur sammett við aðrar føroyskar stovnar. Niðanfyri verður í stuttum greitt frá søgu Tjóðskjalasavnsins.
Hóast miðsavnað skjalasavn ikki formelt bleiv sett á stovn í Føroyum fyrr enn í 1932, so ganga røturnar hjá Tjóðskjalasavninum væl longur aftur. Vit vita, at í tíðarskeiðnum 16.-18. øld varðveittu myndugleikarnir hvør í sínum lagi tey skjøl, sum hoyrdu til teirra savn. Ikki er vist, hvussu langt aftur hesi søvn upprunaliga hava gingið. Eldri frásagnir benda tó á, at skjøl hava verið varðveitt í Føroyum frá í hvussu so er mitt í 16. øld. Í 1673 skrivar Lucas Debes, at skjøl høvdu verið til 100 ár áðrenn í landsins skríni, men at hesi tá vórðu rænd. Góð 100 ár seinni, síðst í 18. øld, skrivar Jens Christian Svabo, at tingbøkurnar lógu í eini kistu á tinghúsloftinum.
Í 1859 vóru nøkur søvn miðsavnað í gomlu Leigubúðini í Havn, tí avgjørt var, at hon skuldi brúkast til ”Opbevaringssted for Landets offentlige Arkiver”.
Hin Kgl. Einahandilin, sum var avtikin í 1856, læt eitt rættiliga rúgvumikið savn eftir sær, men eingin almennur stovnur hevði rúm fyri tí. Peningur varð játtaður til at innrætta Leigubúðina til fútaskrivstovu og skjalasavn hjá fútanum, sorinskrivaranum og avtikna einahandlinum. Hendan loysn helt í 40 ár, tá Fútin og Sorinskrivarin í 1899 fingu nýggj embætishús, har rúm var fyri teirra egnu skjalasøvnum. Savnið eftir Kgl. Einahandilin varð tá sent á Ríkisskjalasavnið i Keypmannahavn. Hóast hetta ivaleyst bjargaði einahandilssavninum, so avgjørdi danska Ríkisskjalasavnið samstundis at vraka stóran part av hesum savnið, kontrabøkur o.l.
Veruligt skjalasavn varð tó ikki sett á stovn í Føroyum fyrr enn í 1932 undir navninum Færø Amts Arkiv. Tá flutti skjalasavnið, saman við Amtsbókasavninum og Forngripagoymsluni, inn í nýbygdu bókasavnshúsini á Debesartrøð í Tórshavn.
Tey fyrstu 20 árini var skjalasavnið ein sokallaður ríkisstovnur, men hin 12. november 1951 legði landsstýrið nýggja lóg um Landsskjalasavn og Landsbókasavn fyri tingið, og tvær vikur seinni samtykti løgtingið hesa lóg, sum virkaði frá 1. januar 1952. Hervið var skjalasavnsvirksemi komið á føroyskar hendur.
Í sambandi við yvirtøkuna skifti stovnurin navn til Føroya Landsskjalasavn.
Skjalasavnið hevði høvuðssæti í bókasavnshúsunum til 1974 (har høvuðsskrivstovan hjá Fróðskaparsetrinum heldur til í dag), tá flutt varð inn í V.U. Hammershaimbsgøtu 11 kj., har eisini Heilsufrøðiliga Starvsstovan heldur til.
Í 1990 var formlig avtala gjørd um skjøl hjá ríkisstovnum í Føroyum. Avtalan millum Føroya landsstýri og danska forsætismálaráðið fevndi um, at skjøl hjá ríkisstovnum í Føroyum (við undantaki av hernaðarskjølum) skuldu avhendast Landsskjalasavinum, og at landsskjalavørðurin hevði eftirlit við teimum. Tó skuldu somu reglur vera galdandi fyri tey sum fyri tilsvarandi skjøl í Danmark. Ein treyt við avtaluni var, at Føroyar fingu tilsvarandi skjalasavnslóggávu sum í Danmark. Henda lóg kom í 1992, tá løgtingslóg nr. 49 frá 28. apríl 1992 um Føroya Landsskjalasavn varð sett í gildi.
Frá 1. januar 2011 varð Tjóðskjalasavnið (Landsskjalasavnið) partur av stovninum Søvnum Landsins. Søvn Landsins var ein yvirskipað fyrisiting av søvnunum undir Mentamálaráðnum. Søvnini itu tá Føroya Landsbókasavn, Føroya Landsskjalasavn, Føroya Fornminnissavn, Føroya Náttúrugripasavn og Havlívfrøðiliga Royndarstøðin. Í februar 2017 varð avgjørt at býta stovnin sundur aftur í tríggjar ymiskar stovnar. Tjóðskjalasavnið, Landsbókasavnið og Tjóðsavn Føroya. Tjóðsavnið varð sett á sett á stovn við tí endamáli at fevna um tað museala og antikvariska virksemið hjá Fornminnissavninum og Náttúrugripasavninum.
Í 2018 skifti Føroya Landsskjalasavn navn til Tjóðskjalasavnið.
Í 2018 var løgtingslóg nr. 49 frá 28. apríl 1992 um Føroya Landsskjalasavn broytt við løgtingslóg nr. 63 frá 30. apríl 2018. Broytingin hevði við sær at lógin eisini kom at fevna um talgild savnindi.
Í dag eru høvuðsgoymsla og lesistova framvegis í V.U. Hammershaimbsgøta 11 kj., meðan skrivstovur, skrásetingarhøli v.m. eru í sonevnda "Postmeistarahúsinum" í V.U. Hammershaimbsgøtu 18. Aftrat hesum hevur savnið stóra útigoymslu í leigaðum hølum í Tórshavn.
Millum almennu søvnini á Tjóðskjalasavninum finnast løgtingið, sorinskrivaraembætið, landfútaembætið, sýslurnar, kommunurnar, amtið, ríkisumboðið, fólkakirkjan, landslæknin, skúlamyndugleikarnir og landsstýrið. Tjóðskjalasavnið goymir eisini hópin av privatum søvnum. Í varðveitslu eru handilssøvn, søvn hjá ítróttafeløgum, peningastovnum, tryggingarfyritøkum, fakfeløgum, politiskum felagsskapum, einstaklingum o.ø.
Á goymslu hevur Tjóðskjalasavnið eisini hópin av kortum og tekningum, ið verða varðveitt í sjálvstøðugum savni. Elsta varðveitta savnindi á Tjóðskjalasavninum er Kongsbókin frá 1298, men fyrsta veruliga skipaða savnið, ið er varðveitt, er tað hjá Sorinskrivaranum, ið byrjar við fyrstu tingbókini frá 1615. Við henni byrjar óbrotna røðin av skjølum, ið røkkur fram til okkara dagar. Skjølini og savnindini fylla meira enn 4 kilometrar í goymslunum hjá Tjóðskjalasavninum.
Meira kann lesast um søgu Tjóðskjalasavnsins í greinini "Stríðið um skjølini" eftir Lenu Nolsøe, savnsvørð á Tjóðskjalasavninum. Greinin stendur í greinasavninum "Brot úr Føroya søgu" frá 2010